Question

如图 △ABC中，∠ACB=90°，AC=BD,D为△ABC外的一点，且AD=BD,DE垂直于AC交CA的延长线于E，求证：DE=AE+BC

Answer 1

证明：
过点D作DF⊥CB交CB的延长线于点F
所以∠CFD=Rt∠=90度
因为DE⊥AC交CA的延长线于E
所以∠E=Rt∠=90度
因为∠C=90度
所以∠C=∠E=∠F=Rt∠=90度
所以四边形ABCD是矩形
所以DF=CE
因为BC=AC
所以∠CBA=∠CAB=45度
因为BD=AD
所以∠DBA=∠DAB
所以180度-∠CBA-∠ABD=180度-∠CAB-∠BAD
即∠FBD=∠DAE
因为∠F=∠E
所以三角形FBD全等三角形ADE
所以FD=DE
所以DE=CE
因为CE=CA+AE
又因为AC=BC
所以CE=AE+BC
所以DE=AE+BC

参考:

过点D作DF⊥CB交CB的延长线于点F,所以∠CFD=90度
因为DE⊥AC交CA的延长线于E, 所以∠E=90度
因为∠C=90度,所以∠C=∠E=∠F=90度,所以四边形ABCD是矩形,所以DF=CE
因为BC=AC, 所以∠CBA=∠CAB=45度
因为BD=AD, 所以∠DBA=∠DAB
所以180度-∠CBA-∠ABD=180度-∠CAB-∠BAD, 即∠FBD=∠DAE
因为∠F=∠E, 所以△FBD≌△EAD, 所以FD=DE, 所以DE=CE
因为CE=CA+AE,AC=BC
所以CE=AE+BC,所以DE=AE+BC

Answer 2

证明：
连接CD
∵CB=CA，DB=DA，CD=CD
∴△BCD≌△ACD
∴∠ACD=∠BCD=45°
∵DE⊥CE
∴DE=CE
∴DE=AC+AE=CB+AE