Question

为什么在求特征向量里重根对应的特征向量却不一定线性无关？

在线性方程组里基础解系线性无关，为什么在求特征向量里重根对应的特征向量却不一定线性无关？它们不都是用方程组的方法求解的吗？两者有什么区别…
何为特征向量？特征向量应该是基础解系的的组合（它们前面的系数不全为0），我们在求特征向量时是先求基础解系的，那么那个基础解系按理说一定线性无关，可为什么特征向量却不一定？

Answer 1

在线性方程组里基础解系线性无关，在特征向量里重根对应的特征向量却不一定线性无关。

一般情况下求特征值对应的特征向量都是求对应的线性方程组的线性无关的解（即基础解系），求基础解系的时候是把自由变量取了一组线性无关的值得出来的，但如果取的不是线性无关的，那么对应的特征向量（方程组的解）也就不一定是线性无关的了。

扩展资料

线性方程组有以下两种解法：

1、克莱姆法则：用克莱姆法则求解方程组有两个前提，一是方程的个数要等于未知量的个数，二是系数矩阵的行列式要不等于零。

用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系，但由于求解时要计算n+1个n阶行列式，其工作量常常很大，所以克莱姆法则常用于理论证明，很少用于具体求解。

2、矩阵消元法：将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵 ，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。

参考资料：百度百科-线性方程组

Answer 2

你的问题我也研究过，你的误区在于你没把特征向量搞懂，重根的特征向量求解是与方程组相同的，但重根的基础解系向量个数是不定的...也就是说若重根对应的基础解系向量个数为2，那么向量之间就线性无关，特征向量就线性无关，但重根对应的基础解系向量个数为1，那么特征向量就线性相关

Answer 3

在线性方程组里基础解系线性无关，
特征向量里重根对应的特征向量却不一定线性无关，

一般情况下我们求特征值对应的特征向量都是求对应的线性方程组的线性无关的解（即基础解系），我们求基础解系的时候是把自由变量取了一组线性无关的值得出来的，但如果你取的不是线性无关的，那么对应的特征向量（方程组的解）也就不一定是线性无关的了。

何为特征向量？我们在求特征向量时是先求基础解系的，那么那个基础解系按理说一定线性无关，特征向量也一定是线性无关的，你说的是不可能的。因为求出来的基础解系就是线性无关的特征向量啊。

Answer 4

其实17年的那个回答已经说得很不错了，这里加上我自己的理解方式：
1、大家都知道”重根所对应的特征向量的形式是由基础解系所组成的，例如K*a +M*b(K,M不同时等于0)这种形式“。。。。。所以这也就意味着“重根的数量与其所对应的线性无关的解向量的个数这两者之间是直接影响着特征向量的相关性”。如下分析：
2、当重根的个数等于其线性无关的解向量的个数时，那么特征向量就无关，因为这时候对于每一个重根而言都可以分别取一个线性无关的解向量，故自然也就线性无关。。。。。而当两者个数不等时（此时一定有重根个数大于解向量的个数），重根中的某个根所对应的特征向量必然是线性无关的解向量的组合形式，所以自然就线性相关。