Question

高1数学题

函数f(x)=(ax+b)\(1+x^2),在（-1,1)上的奇函数，且f(1\2)=2\5
(1)确定f(x)的解析式
(2)证明f(x)在(-1,1)上是增函数
（3）解不等式f(t-1)+f(t)<0

Answer 1

1、∵奇函数定义域含0点
∴f(0)=0
∴b=0
又f(1/2)=2/5
∴1/2a+b=1/2
a=1
∴f(x)=x/1+x²
2、任取x1. x2 设x1＞x2
则f(x1)-f(x2)=x1/1+x1²-x2/1+x2²
=(x1-x2)(1-x1x2)/(1+x1²)(1+x2²)
∵x1-x2＞0 x1x2＜1 1-x1x2＞0 (1+x1²)(1+x2²)＞0
∴f(x1)-f(x2)＞0
∴f(x)在(-1,1)上是增函数
3、依题
f(t-1)＜-f(t)
f(t-1)＜f(-t)
∴-1＜t-1＜1
-1＜-t＜1
∵为增函数
∴ t-1＜-t
解得
0＜t＜1/2

Answer 2

思路提示：（1）奇函数f(1\2)=2\5 f(-1\2)=-2\5
两个方程即可得到ab的值
（2）设在（-1,1)上 x1>x2 ,证明f(x1）> f(x2）即可