Question

高1数学题

定义在（0，+∞）上的函数F（X），对任意的M，N∈（0，+∞）都有F（M*N）=F（M）+（N）成立。且当X大于1时，F（X）小于0
（1）F（1）=？（2）证明：F（1/X）=-F（X）对任意X∈（0，+∞）都成立。
（3）证明：F（X）在（0，+∞）上是减函数。（4）当F（2）=-1/2时，解不等式F（X-3）大于-1。

Answer 1

解：
(1)由于：f(mn)=f(m)+f(n)
则令m=1,n=1
则：f(1)=f(1)+f(1)
则：f(1)=0

(2)证明：
令m=1/x,n=x
则：f(1/x*x)=f(1/x)+f(x)
则：f(x)+f(1/x)=f(1)=0
即：f(1/x)=-f(x)
故f(1/x)=-f(x)对任意X∈（0，+∞）都成立。

(3)证明：
由于：f(mn)=f(m)+f(n)
则有：f(mn)-f(m)=n
任取x1,x2属于(0，+∞)，且x1>x2
则：f(x1)-f(x2)
=f(x1/x2)
由于：x1>x2>0
则：x1/x2>1
由于：当X>1时，f(x)<0
则：f(x1/x2)<0
即对任意x1>x2>0,
都有f(x1)<f(x2)
则f(x)在(0，+∞)上是减函数

(4)f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=-1
则由f(x-3)>-1
得：f(x-3)>f(4)
由于f(x)定义域：(0，+∞),且f(x)是减函数
则：0<x-3<4
则解集为：{x|3<x<7}

Answer 2

(1)
f(mn) = f(m) + f(n)
put m=n =1
f(1) = f(1) + f(1)
=> f(1) =0
(2)
put m= x , n =1/x
f(1) = f(x) + f(1/x)
f(1/x) = -f(x)
(3)
x> y>0
x = ky ( k>1)
f(x) = f(ky)
= f(k) + f(y)
< f(y) ( k> 1, f(k) < 0)
f(x)在（0，+∞）上是减函数
(4)
f(2) = -1/2
put m=n = 2
f(4) = f(2) + f(2)
= -1
f(x-3) > -1
f(x-3) > f(4)
x-3 < 4
x < 7
ie 0< x < 7

Answer 3

（1）F（1*1）=F（1）+F（1）
F(1)=0
(2)
F(1)=F(x*1/x)=F(x)+F(1/x)=0
所以F（1/X）=-F（X）
(3)
设0<x1<x2
F(x2)-F(x1)=F(x2)+F(1/x1)=F(x2/x1)
因x2/x1>1
所以F(x2/x1)<0
F(x2)-F(x1)<0
F(x2)<0F(x1)
F（X）在（0，+∞）上是减函数
(4)
F(4)=F(2)+F(2)=-1
F（X-3）>F(4)
所以x-3>0且x-3<4
得：3<x<7

Answer 4

(1)F(1*1)=F(1)+F(1),F(1)=0
(2)X∈（0，+∞,有F(1)=F(X*1/X)=F(X)+F(1/X)=0，F(X)=-F(1/X)
(3)X1、X2∈（0，+∞）,设X1<X2，有X2/X1>1，F(X2/X1)<0，
F(X2)=F(X1*X2/X1)=F(X1)+F(X2/X1)<F(X1)
由此可知F（X）在（0，+∞）上是减函数
(4)F(4)=F(2*2)=F(2)+F(2)=-1
由(3)F（X）在（0，+∞）上是减函数,可得X∈（0，4），F(X)>-1
由F（X-3）大于-1，0<X-3<4，即3<X<7

Answer 5

1.F(x*1)=F(x)=F(x)+F(1),得F(1)=0
2.对X∈（0，+∞）有F(x*1/x)=F(1)=F(x)+F(1/x)=0,得F（1/X）=-F（X）
3.x1X2∈（0，+∞）,x1>x2,x1/x2=k(k>1),则F(x1)=F(x2)+F(k),
当X大于1时，F（X）小于0,F(k)<0,故F(x1)<F(x2)
4.F(4)=2F(2)=-1,F（X）在（0，+∞）上是减函数,所以0<x-3<4,3<x<7