Question

急！平面几何证明题。

△ABC中，P、Q两点都在BC的中垂线上，满足∠BAP=∠CAQ。
证明：AP*AQ=AB*AC+BP*CQ.

Answer 1

好像是陈题$设/_PBC=/_PCB=alpha /_QBC=/_QCB=beta ，/_BAP=/_CAQ=gamma, /_PAC=/_BAQ=phi$
$则有正弦定理 (BQ)/sinphi=(AQ)/sin(beta+/_ABC),(CQ)/singamma=(AQ)/sin(beta+/_ACB)
$所以sinphi/singamma=sin(beta+/_ABC)/sin(beta+/_ACB),
$同理可得sinphi/singamma=sin(alpha+/_ACB)/sin(alpha+/_ABC)
$所以sin(alpha+/_B)sin(beta+/_B)=sin(alpha+/_C)sinbeta+/_C)
$化简可得alpha+beta=/_A$即/_ABP+/_ACQ=180，找一点M,使APM相似于AQC,尤角的互补可知A,B,P,M四点$共圆，所以BP=AM,在有托勒密定理即相似易的结论成立。但是好像可以直接算出结论的，不需要构造。