Question

如何判断一个函数是不是单调函数

Answer 1

函数的导数恒正或恒负，那么这个原函数就是单调函数。如果导数恒正，原函数为单调递增，恒负为单调递减。

追问

不好意思，我没学过导数

追答

那就看函数图像，根据图像判断是递增还是递减。或者取点法，从小到大选取几个点，如果对应的函数值非递增或非递减，说明不是单调，但如果递增或递减，并不能说明是单调函数

追问

只给出定义域，画图我觉得不准，万一某个区间有波动呢？

追答

你是几年级的？我想想你们都有什么方法，因为最简单的判断单调函数就是求导。但是你们没学过，所以还得另外想。

追问

高一，你帮我想想有什么办法，我的知识没你多啊。。。

追答

高一，那估计只能用定义法了。比较麻烦。设在区间内任取X1<X2，再F(x1)-F(x2)，比较大小，如果恒大于0，就是递减，相反就是递增，如果有正有负，那就不是单调。要是还不行的话，你把题复述一下，我看看。

追问

题目我已经忘了，我记得它给了一个解析式和定义域，就让你判断，我觉得不能把定义域内最大值最小值带进去啊，万一中间有波动呢。但我的老师就是这么做的

我查了一下，题目是log以a为底|x-1|的对数，在（0，1）上递减，能判断整个函数的单调性吗？

你是不是电脑上看的？如果不是，建议上电脑，因为我修改过追问了

追答

这道题的定义域为（-∞，1）U（1，+∞），然后在定义域上分段讨论。首先在（0，1）上递减，说明log以a为底m的对数在（0，+∞）上是递减的。再讨论-∞到0的情况，在该区间|x-1|从+∞变化到1，故递减；然后讨论（1，∞），|x-1|从0变化到+ ∞，故递减。因此log以a为底|x-1|的对数在定义域上为单调递减函数。