Question

不定方程2（x+1）（y+1）-1=xyz的所有正整数解

因为2（x+1）（y+1）-1这是一个奇数，那么xyz的乘积必须为奇数，那么x，y，z也必须是奇数；
因为这里面x和y的位置是相同的，不妨就令x=y所以z=【2（x+1）^2-1]/x^2=(2x^2+4x+1)/x^2=2+(4x+1)/x^2
因为x，y，z均为整数，所以(4x+1)/x^2也必须为整数
也就是4x+1>=x^2，0<x<2+√5≈4.2
又因为x是整数，且为奇数，那么x只能是1或者3
当x=1，此时对应y=1，z=7，符合题意
当x=3，此时对应y=3，z不是整数，不合题意；
那么也可以考虑y和x不等的情况，因为通过前面的分析，可以得出x，y的范围（0，5）且为奇数
那么当x=1，y=3，此时z=5符合题意；
当x=3，y=1，此时z=5也是符合题意的
那么综上所述，有三组整数满足题意
（1）x=1，y=1，z=7
（2）x=1，y=3，z=5
（3）x=3，y=1，z=5

可以解释一下怎么得出x，y的范围（0，5）

Answer 1

要是让z为整数，那么（4x+1）/x^2就必须为整数，一个分数为整数，那么分子肯定不会小于分母，于是就有了4x+1>=x^2，解出x的范围是（0，2＋√5】

因为√5约等于2.2，所以2+√5≈4.2<5，所以才有x，y的范围（0，5）

Answer 2

4x+1>=x^2，0<x<2+√5≈4.2
所以x的范围（0，5）
因为y的位置和x是可以互换的，所以y的范围也是（0，5）

Answer 3

当x=3，y=7，y=3时也符合题意