Question

在三角形ABC中，AB＝AC，若P是BC上的任意一点，连接AP，试说明AB的平方减AP的平方等于BP乘CP

Answer 1

延长BA至D,使AD＝AP,取E∈AC,使AE＝AP.

则 BD＝AB+AP.CE＝AB-AP.看⊿BDP与⊿CPE.∠C＝∠3＝∠B

∠APC＝∠4+∠5＝（∠5＋∠3）+∠5＝∠3+2∠5.①

∠APC＝∠2+∠3＝2∠1+∠3②.比较①②，得到∠1＝∠5.

∴⊿BDP∽⊿CPE（∠B＝∠C.∠1＝∠5）

∴BD/BP＝PC/CE.  PB*PC＝BD*CE＝（AB+AP）*（AB-AP）＝AB^2-AP^2

Answer 2

做高AH（H在BC上，因是等腰三角形，有HB=HC）
AB^2=AH^2+BH^2
AP^2=AH^2+PH^2
所以AB^2-AP^2=BH^2-PH^2=(BH+PH)(BH-PH)
而BH+PH=CH+PH=CP
BH-PH=BP
原题得证

Answer 3

△ABC为等腰三角形。
做AD为△ABC的高，交BC于D。
则有△ABD和△APD均为直角三角形
AB^2=BD^2+AD^2(1)
AP^2=PD^2+AD^2(2)
(1)-(2)得
AB^2-AP^2=BD^2-PD^2=(BD+PD)*(BD-PD)
因BD=CD
故AB^2-AP^2=(CD+PD)*(BD-PD)=CP*BP