Question

求微分方程(x-siny)dy+tanydx=0的通解，有一个疑问

前面的步骤“先求dx/dy＋xcosy/siny的通解”，我想问的是同济高数课本上写的那些各种类型的微分方程不是都只有单独一个字母y或者y的各阶导数这样的形式吗，像这道题的式子里有cosy/siny这种像是y的函数的形式，也可以直接求？？书上的例题也全是单独的一个y，或者可以化成y/x的形式，但是都没有这种还要复杂一点的。想说是不是我哪里理解有偏差，如果按书上来做的话要做不出来了....

Answer 1

具体回答如下：

(x-siny)dy+tanydx=0

xcosydy+sinydx-sinycosydy=0（等式两端同乘cosy）

d(xsiny)-d((siny)^2/2)=0

xsiny-(siny)^2/2=C （C是常数）

x=siny/2+C/siny

原方程的通解是x=siny/2+C/siny

微分方程的特征：

求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。

也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。

后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。

Answer 2

求微分方程(x-siny)dy+tanydx=0的通解

解：P=tany；Q=x-siny；由于∂P/∂y=sec²y≠∂Q/∂x=1；∴此方程不是全微分方程。

但因为 H(y)=(1/P)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=(1/tany)(sec²y-1)=(1/tany)•(tan²y)=tany是y的函数

故有积分因子μ：

用积分因子μ=cosy乘原方程两边得：[xcosy-sinycosy]dy+sinydx=0

此时P=siny;   Q=xcosy-sinycosy；由于∂P/∂y=cosy=∂Q/∂x，故是全微分方程。

∴其通解u:

【检验】du=(∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy=sinydx+(-cosysiny+xcosy)dy

=sinydx+cosy(x-siny)dy=cosy[tanydx+(x-siny)dy]=0

即有(x-siny)dy+tanydx=0这就是原方程，故完全正确。

Answer 3

你也真的是脑子一下转不过来是吗？书上给的是含有y以及dy/dx的方程，那是因为y是因变量，你求出来的东西是y=f(x)。现在我把自变量和因变量换一下，自变量是y，因变量是x，给了dx/dy，那解出来就是x=g(y)这种结构呗，有什么难的？数学题换一个字母你就不会写了？

Answer 4

不就是xy映射颠倒成yx映射吗，
逆个向就不会了?
那你把x用Y，y用X替代了再看