Question

设A B都是n阶对称矩阵，证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA. 求详解~！

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

证明：必要性
由于A，B都是n阶正定矩阵，根据正定矩阵的定义，A，B都是n阶对称矩阵，即A'=A,B'=B（这里A'表示A的转置矩阵）。若AB正定，则
AB也是对称矩阵，从而AB=(AB)'=B'A'=BA.即证得了AB=BA。
充分性
若AB=BA，则(AB)'=B'A'=BA=AB,这说明AB实对称。
其次，由于A，B都是n阶正定矩阵，从而A，B都与单位矩阵合同，于是存在两个可逆实矩阵P,Q，使得A=P'P,B=Q'Q,
进而AB=P'PQ'Q。
注意到P'PQ'Q=Q^(-1)(QP'PQ')Q,这说明P'PQ'Q与)QP'PQ'相似，
另外，QP'PQ'=（PQ'）'（PQ'）,根据P,Q都是可逆实矩阵，PQ'也是可逆实矩阵，因此QP'PQ'正定，所以QP'PQ'的特征值都是正实数。
由于相似的矩阵具有相同的特征值，故AB=P'PQ'Q的特征值都是正实数。这就证明了AB正定。