Question

各位大哥大姐，有一道关于初三 旋转 方面的数学题，希望有人能帮我解答一下！！谢谢啦

如图，已知P为正三角形ABC内一点，∠APB=113°，∠APC=123°，那么以AP、BP、CP为边可以构成一个三角形吗？如果能，试求所构成的三角形各内角的度数。（记得老师好像讲的是将三角形顺时针旋转，将BC边与AC边重合）

Answer 1

如图

将△APB绕点A逆时针旋转60°

使AB与AC重合

同样AP也旋转了60°使P点落在Q处，

形成与△APB全等的新△AQC

∴AQ=AO，PB=QC

另外PC不变

∴PQ（=PA）、CQ（=PB）、PC

组成了△PQC即为所求的△

因此，PA、[B、PC能组成△ 

因为∠AQC=∠APB=113°

所以∠PQC=∠AQC-∠AQP=113-60=53°

因为∠APC=123°

所以∠QPC=∠APC-∠APQ=123-60=63°

另一角∠PCQ=180-（53+63）=64°

∴组成的△PQC最小内角=53°

Answer 2

解：如图将△APB绕点A逆时针旋转60°使P、Q重合则△APQ为等边三角形

    ∴∠CPQ=123-60=63° ∠CQP=113-60=53°∠PCQ=180-63-53=64°

    PQ=PA  CQ=PB  ∴AP、BP、CP能组成△

Answer 3

已知P为三角形内一点，∠APB=113°，∠APC=123°
∴∠BPC＝360°－∠APB－∠APC＝360°－113°－123°＝124°
∵△ABC是正三角形
∴AB＝BC＝CA，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°

以点A为圆心，AP为半径，作圆弧
以点C为圆心，BP为半径，作圆弧
两段圆弧交△ABC的AC边外侧于点Q，连接PQ
则有：
AQ＝AP (作图)
CQ＝BP (作图)
AC＝AB (公共)
∴△AQC≌△APB (SSS)
∴∠CAQ＝∠BAP，∠AQC＝∠APB＝113°
∴∠CAQ＋∠PAC＝∠BAP＋∠PAC
即∠PAQ＝∠BAC＝60°
而△PAQ是等腰三角形 (AP＝AQ)
∴△PAQ是正三角形
∴∠AQP＝60°，PQ＝AP
在△PQC中
PQ＝AP (已证)
CQ＝BP (作图)
CP＝CP (公共)
∴△PQC即为所求之三角形 (或者说，△PQC全等于所求之三角形)
∠PQC＝∠AQC－∠AQP＝113°－60°＝53°
同理，可知：∠PCQ＝63°，∠CPQ＝64°
∴最小内角为53°

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Answer 4

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