Question

三角形ABC中,AD是三角形ABC的中线，AE为三角形ABD的中线，AB=DC,∠BAD=∠BDA,求证:AC=2AE

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Answer 1

证明：延长AE到F，使EF=AE
在△ABE与△FDE中，
∵BE=DE （∵AE是△ABD边BD上的中线）
∠AEB=∠DEF （对顶角）
EF=AE
∴△ABE≌△FDE （边，角，边）
∴∠EDF=∠ABE，DF=AB
在△ADF与△ACD中，
∵DF=AB=CD （∵AD是△ABC边BC上的中线，且BA=BD ）
∠ADF=∠ADE+∠EDF
∠ADC= ∠B+ ∠BAD
∴∴ADC=∴ADF
AD=AD （公共边）
∴△ADF≌△ACD （边，角，边）
∴AC=AF=AE+EF=2AE （∵EF=AE）
故AC=2AE ，

Answer 2

1) 取AB中点F,联结DF ;DF平行于AC且D/F分别为各边中点,所以AC=2DF,要证AC=2AE,只需证AE=DF
2) 在三角形ADF和DAE中,AF=DE(中点平分),AD=DA,角DAFF=角EDA(等腰三角形)
所以三角形ADF和DAE全等
所以AE=DF
3) 所以AC=2AE