Question

高等代数理论基础23：矩阵的秩

Answer 1

定义：矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩,矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩

引理：若齐次线性方程组 的系数矩阵

的行秩 则它有非零解

证明：

定理：矩阵的行秩与列秩相等

证明：

定理： 矩阵 的行列式为零 A的秩小于n

证明：

推论：齐次线性方程组 有非零解的充要条件是它的系数矩阵 的行列式等于零

定义：在一个 矩阵A中任意选定k行和k列,位于这些选定的行和列的交点上的 个元素按原来的次序所组成的k级行列式称为A的一个k级子式

注：

定理：一矩阵的秩是r的充要条件为矩阵中有一个r级子式不为零,同时所有r+1级子式全为零

证明：

注：

1.矩阵A的秩 r的充要条件为A有一个r级子式不为零

2.矩阵A的秩 r的充要条件为A的所有r+1级子式全为零

3.在秩为r的矩阵中,不为零的r级子式所在的行正是它行向量组的一个极大线性无关组,所在的列正是它列向量组的一个极大线性无关组

注：初等行变换初等列变换不改变矩阵的秩

阶梯形矩阵的秩就等于其中非零行的数目

证明：

其中