Question

几道高一函数题...

想要点小过程，谢谢！
1.已知f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)=x(x+1)，则当x>0时，f(x)=_____________
2.已知f(x)是定义在｛-2，-1，0，1，2｝上的奇函数，且f(-1)=2，f(2)=3，则f(x)的值域是__________

下面是解答题，我都写错了，大家帮帮我好嘛？

已知函数f(x)=2/X^2
（1）判断函数f(x)在（0，+无穷）上的单调性并证明
（2）当x属∈[1，+无穷）时，求f(x)的值域。

已知函数f(x)为定义在R上的偶函数，且在（-无穷，0]上为减函数。
（1）证明函数在[0，+无穷）上为增函数
（2）若f(a-1)>f(x)，试求实数a的取值范围

Answer 1

1.已知f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)=x(x+1)，则当x>0时，f(x)=_____________
当x>0时,
f(x)=-f(-x)【∵f(x)是奇函数】
=-(-x)·[(-x)+1]【∵-x>0】
=x(1-x)

2.已知f(x)是定义在｛-2，-1，0，1，2｝上的奇函数，且f(-1)=2，f(2)=3，则f(x)的值域是__________
f(-2)=-f(2)=-3
f(0)=-f(0),于是f(0)=0
f(1)=-f(-1)=-2
因此f(x)的值域为{-2,-3,0,2,3}

已知函数f(x)=2/x²
（1）判断函数f(x)在（0，+无穷）上的单调性并证明
（2）当x属∈[1，+无穷）时，求f(x)的值域。
解：（1）设x1>x2>0，则
f(x1)-f(x2)=2/x1²-2/x2²
=2(x2²-x1²)/x1²x2²
=2(x2+x1)(x2-x1)/x1²x2²
<0
于是f(x)在x>0上是减函数.
(2)在x∈[1,+∞)上f(x)是减函数，于是f(x)≤f(1)=2；
而f(x)=2/x²＞0，因此f(x)的值域为(0,2].

已知函数f(x)为定义在R上的偶函数，且在（-无穷，0]上为减函数。
（1）证明函数在[0，+无穷）上为增函数
（2）若f(a-1)>f(x)，试求实数a的取值范围
解:(1)设x1>x2≥0，则-x1<-x2≤0
而f(x)在(-∞,0]上为减函数，因此f(-x1)-f(-x2)＞0
f(x1)-f(x2)=f(-x1)-f(-x2)＞0【∵ f(x)为偶函数】
于是f(x)在[0,+∞)为增函数。

(2)原题是"f(a-1)>f(a)"吧....
由于a-1<a,所以
1°当a≤0时，a-1<a≤0，而f(x)在(-∞,0]为减函数，符合题意；
2°当0<a<1时，由f(a)=f(-a)，从而f(a-1)>f(-a)，于是a-1<-a,即a<1/2；
3°当a≥1时,0<a-1<a，而f(x)在[0,+∞)为增函数，不符合题意；
综上，a<1/2为所求a的取值范围。