Question

已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线，将三角形的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA.OB交于C，D,PC

已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线，将三角形的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA.OB交于C，D,PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论

Answer 1

如图，作PE、PF分别⊥OA、OB（即P点到两边的距离）

得PE=PF（角平分线上一点到两边的距离相等）

且∠EOF=90°，

又∵∠CPD=90°

即相当于，绕P点将∠CPD逆时针旋转一个角度（图中90，笔误）

∴∠1=∠2

在△PCE和△PDF中

∠1=∠2，∠E=∠F=90°，PE=PF

∴△PCE≌△PDF（ASA）

∴PC=PD

P虽然在OM上滑动，但角平分线上一点到两边的距离相等规律不变

∴PC永远=PD

Answer 2

解：PC与PD相等．理由如下：
过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．
∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
又∵∠AOB=90°，∠PEO=∠PFO=90°，
∴四边形OEPF为矩形，
∴∠EPF=90°，
∴∠EPC+∠CPF=90°，
又∵∠CPD=90°，
∴∠CPF+∠FPD=90°，
∴∠EPC=∠FPD=90°-∠CPF．
在△PCE与△PDF中，
∵∠PEC=∠PFDPE=PF∠EPC=∠FPD​，
∴△PCE≌△PDF（ASA），
∴PC=PD．