Question

设f(x)是定义在R上的函数，对任意x、y属于R都有f(x＋y)=f(x)·f(y)，当x>0时，o<f(x)<1

(1)求证：f(0)=1且x<0时，f(x)>1 (2)求证：f(x)在R上为减函数 (3)设A={(x,y)|f(-x²＋6x-1)乘f(y)=13}，B={(x,y)|y=a}若A交B=空集，求a范围

Answer 1

解：

(1)证明；

令y=0，得

f(x)=f(x)·f(0)

f(x)·[1-f(0)]=0

对任意f(x)此式都成立，则

1-f(0)=0

∴f(0)=1

设x＜0，y=-x＞0，则

f(x-x)=f(x)·f(-x)=1

f(-x)∈(0,1)

∴f(x)＞1

得证

(2)首先，根据(1)，得知在R上f(x)都是正数

任意取m＞n，则

f(m)/f(n)=f(m-n)＜1，且大于0

∴f(m)＜f(n)

即f(x)在R上为减函数

得证

(3)我觉得你写错了，根据已知条件，是无法找到f(m)=13的

如果你的题目是f(-x²+6x-1)·f(y)=1

那么

f(-x²+6x-1+y)=f(0)

∴-x²+6x-1+y=0

y=x²-6x+1

这个函数显然是一个二次抛物线，开口向上，最低点是(3,-8)

如果A和B的交集是空集，那么

y=a＜-8

∴a的范围是(-∞，-8)

谢谢