Question

求一个函数的单调性

2(x+4/x）在（0，正无穷大）上的函数单调性

Answer 1

不考虑那个2，只看x+4/x即可，x+4/x>=2√x·4/x=4；知道最小值是4，且x=4/x即x=2时可取得最小值。
于是分成两个区间讨论单调性(0, 2]和[2, ∞)。
假设有x1和x2属于某个区间，且x1>x2，那么
(x1+4/x1) - (x2+4/x2) = (x1-x2)(1-4/x1x2)，
可见当x1 x2 属于(0, 2)时(x1+4/x1) - (x2+4/x2) < 0，故由定义知单调递减；
类似当x1 x2 属于(2, ∞)时(x1+4/x1) - (x2+4/x2) > 0，故由定义知单调递增。

以上是初中生的方法。

Answer 2

f（x）=2(x+4/x），则f（x）导数为2（x²-4）/x²，导数在定义域上的零点为x=2，x≤2时，导数小于等于零，所以f（x）在（0,2】上是单调递减
x≥2时，导数大于等于零，所以f（x）在【2,+∞】上是单调递增

Answer 3

f(x)=2(x+4/x）在（0，2）单调减在（2，正无穷大）单调增