Question

求助一道高中数列数学题

已知数列｛An｝的前n项的和为Sn，A1=1,且3A（n+1）+2Sn＝3（n为正整数）（A（n+1）指的是An的前一项不是A×(n＋1)）
（1）｛An｝的通项公式。
（2）若对任意正整数n,k≤Sn恒成立，求实数k的最大值.
彻底迷茫了，感谢帮忙……

Answer 1

(1)由3A（n+1）+2Sn＝3
得3[S（n+1）-Sn]+2Sn＝3
化为3S（n+1）-Sn＝3
整理为3[S（n+1）-3/2]=Sn-3/2
则数列{Sn-3/2}为等比数列，其中首项为A1-3/2=-1/2，公比为1/3。
则Sn-3/2=(-1/2)*(1/3)^(n-1)
则Sn=(-1/2)*(1/3)^(n-1)+3/2
则An=Sn-S(n-1)
=(-1/2)*(1/3)^(n-1)+3/2-[(-1/2)*(1/3)^(n-2)+3/2]
=(1/3)^(n-1)
(2)由（1）中已推知Sn=(-1/2)*(1/3)^(n-1)+3/2
An=Sn-S(n-1)=(1/3)^(n-1)>0
所以Sn为增函数
则Sn-min=S1=1
所以只需k<=Sn-min=1,即可满足k≤Sn恒成立，所以kmax=1

Answer 2

3A（n+1）+2Sn＝3，则
3An+2S(n-1)＝3
两式相减
3[A(n+1)-An]+2[Sn-S(n-1)]=0
而Sn-S(n-1)=An
则：
3[A(n+1)-An]+2An=0
则
3A(n+1)=An
则
A(n+1)=1/3*An
则{An}为等比数列
An=1*（1/3)^(n-1)=（1/3)^(n-1)

k≤Sn恒成立
Sn=[1-(1/3)^n]/(1-1/3)=3/2*[1-(1/3)^n]=3/2-3/2*(1/3)^n
而Sn显然是单调递增的，
则最大值为：当n趋向无穷大时，Sn=3/2
则k最大值为3/2

Answer 3

（一）A1=1,3A(n+1)+2Sn=3.===>A1=1,A2=1/3,A3=1/9,A4=1/27.猜测An=(1/3)^(n-1).(n=1,2,3,...).则Sn=(3/2)[1-(1/3)^n].===>3A(n+1)+2Sn=3×(1/3)^n+3[1-(1/3)^n]=3.∴An=(1/3)^(n-1)符合题设，∴通项An=3^(1-n),(n=1,2,3,...)(二）Sn=(3/2)[1-(1/3)^n].(n=1,2,3,...).∴S(n+1)-Sn=(3/2)[(1/3)^n-(1/3)^(n+1)]=(3/2)×(1/3)^n×(2/3)=(1/3)^n＞0.∴S(n+1)＞Sn,(n=1,2,3,...)∴{Sn}单调递增，∴S1＜S2＜...＜Sn.∴应有k≤S1=A1=1.∴Kmax=1.

Answer 4

当n〉1时
3An+1 +2Sn=3
3An+2Sn-1=3 因为 Sn-Sn-1=An
两式相减得
An+1=1/3An
等比数列 以后会作了吧