Question

问一道高中数学题

定义域为R的函数f(x)满足f(x)=f(x-2k)(k∈z)，是奇函数，在x属于(0,1)时，f(x)=2的x次方/（4的x次方+1）
（1）求f(x)在[2k-1,2k+1](k∈Z）上的解析式（2）证明f(x)在（0,1）上是减函数（3）当m为何值时f(x)=m在(0,1)上有解

Answer 1

（1）
函数f(x)是奇函数，则f(0)=0.
又f(1)=f(1-2k)=-f(2k-1), k∈z.
取k=1时，f(1)=-f(1), 故f(1)=0.
从而 f(2k-1)=f(2k+1)=0, k∈z.
当2k<x<2k+1时，0<x-2k<1.
有 f(x)=f(x-2k)=2^(x-2k)/[4^(x-2k)+1].
当2k-1<x<2k时，-1<x-2k<0, 0<2k-x<1.
有 f(x)=f(x-2k)=-f(2k-x)=-2^(2k-x)]/[4^[(2k-x)+1].
（2）
设 0<x1<x2<1,
f(x2)-f(x1)=2^x2/(4^x2+1)-2^x1/(4^x1+1)
=[2^(x1+x2)-1](2^x1-2^x2)/[(4^x2+1)(4^x1+1)].
分母>0; 2^(x1+x2)-1>0,2^x1-2^x2<0, 分子<0.
故 f(x2)<f(x1), 得证。
（3）
0<x<1, 1<t=2^x<2.
则 0<m=t/(t^2+1)<t/(2t)=1/2.