Question

已知函数f(x)对任意实数x,y∈R,总有f(x+y)=f(x)+f(y),求证f(x)是奇函数

已知函数f(x)对任意实数x,y∈R,总有f(x+y)=f(x)+f(y),求证f(x)是奇函数

Answer 1

因为x,y为任意实数，取y=-x,则有f(x+(-x))=f(x)+f(-x)即f(x)=-f(-x),则可知其为奇函数

Answer 2

由题意知取x=y=0时
f(0)=f(0)+f(0) f(0)=0
任给一个x
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
所以f(x)=-f(x)
即f(x)为奇函数。

Answer 3

f(-x-y)= -f(x)-f(y)
=-(f(x)+f(y))
=-f(x+y)

所以f(x)是奇函数

Answer 4

因为对于任意实数都成立，所以取y=-x代入有：f(0)=f(x)+f(-x),
当特殊取y=x=0时：有f(0)=2f(0),即f(0)=0,所以有)f(x)+f(-x)=0，即f(x)为奇函数