Question

如何证明下列数列的极限存在，并求其极限

根号二，根号下二加根号二， 根号下二加根号下二加根号二·····

多谢了 根号这个符号我不知道怎么打，，，，，
写过大侠们

Answer 1

后项=根号(前项+2) (*)

首先证明每一项都小於2. 这一点可以归纳证:
(1) 根号2小于2
(2) 假设前项小於2, 则前项+2 小于4, 所以后项=根号(前项+2)小於2.
由数学归纳法知全部项小於2.

再证此数列单调增.
由于每一项都小于2, 所以
后项 = 根号(前项+2) > 根号(前项+前项) = 根号(2*前项) >根号(前项*前项)
=前项.

所以此数列单调递增有上界, 极限存在, 设为a.

由(*), 两边取极限得
a = 根号(a+2)
解得 a = 2 或 a=-1(舍去)
所以极限为2.

Answer 2

证明其单调递增且有上界，然后求出来极限是2

Answer 3

令其=a
a^2=2+a
a=（1+根号5）/2