Question

设F(X)定义定义域为(0,+∞)且在(0,+∞)上是增函数,f(x/y)=f(x)-f(y)

求证:
(1) f(1)=0 ; f(xy)=f(x)+f(y)
(2)若f(2)=1, 解不等式f(x)-f(1/x-3)≤2

Answer 1

证明：
(1):f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)=0;
f(xy)=f(x/1/y)=f(x)-f(1/y)
f(1/y)=f(1)-f(y)=0-f(y)=-f(y)
所以f（xy）=f(x)-f(1/y)=f(x)-(-f(y))=f(x)+f(y)
(2) 利用上面的结论
2=1+1=f(2)+f(2)=f(2*2)=f(4)
f（x）-f(1/x-3)=f(x*(x-3))
f(x)满足定义域 x>0 1/x-3>0 得到 x>3 则 x>3
f(x)为增函数x*(x-3）<=4 -1<=x<=4
综上 3<x<=4

Answer 2

（1）令x=y，则有f(1)=f(x/x)=f(x)-f(x)=0
因为 f(x)=f[(xy)/y]=f(xy)-f(y),所以 f(xy)=f(x)+f(y)
（2）f(x)-f(1/x-3)=f[x/(1/x-3)]=f[x(x-3)]
f(4)=f(2×2）=f(2)+f(2)=2
原方程等效为 f[x(x-3)]≤ f(4)
所以有 x(x-3)≤4；x≥0，1/x-3≥0,后面自己解
注：不知道你的1/x-3是指的x分之1减3还是（x-3）分之1，上面的过程是按（x-3）分之1来做的，如果不是就把1/x-3化成（1-3x)/x，是一样做法

Answer 3

（1）令x=y=1，则f（1/1）=f(1)-f(1)=0
f(1/y)=f(1)-f(y)=-f(y)
f(xy)=f(x/1/y)=f(x)-f(1/y)=f(x)+f(y)
(2)f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=2
f(x)-f(1/x-3)=f（x^2-3x）≤2=f（4）
且F(X)在(0,+∞)上是增函数,
所以0≤x^2-3x≤4
解之得3≤x≤4

Answer 4

（1）证明：因为f(x/y)=f(x）-f(y),所以f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)，所以f(1)=0
(2)f(x)-f(1/x-3)小于等于f(2)+f(2)得到，f[x@（x-3)]小于等于f(2)+f(2).将已知条件化为：f(x)=f(x/y)+f(y)+f(x/y@y),所以f(2)+f(2)等于f(4),又因为f(x)是定义在0到正无穷的增函数，并且定义域为0到正无穷，所以：1，x@(x-3)大于0。。。2，x@(x-3)小于等于4，解出方程1，2，取交集便可，你自己算吧。