Question

已知二次函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x

(1)求f(x)的解析式
(2)求当x∈[0,a](a为大于0的常数)时f(x)的最小值
要求详细过程

Answer 1

设：f(x)=ax^2+bx+c
f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c, f(x-1)=a(x-1)^2+b(x-1)+c
所以f(x+1)+f(x-1)=2ax^2+2bx+2(a+c)
由题2a=1,2b=-4,2(a+c)=0
可得a=1,b=-2,c=-1,
即f(x)=x^2-2x-1

当a≥1时，f(x)min在对称轴上
即f(x)min=f(1)=-2
当0<a<1时，图像位于对称轴左侧，
故f(x)单调递减
此时f(x)min=f(a)=a^2-2a-1

Answer 2

用待定系数法，设f(x)=ax2+bx+c
代入得函数为f(x)=x2-2x-1
得到函数后求出对称轴X=1
得当a大于0小于1时最小值为f(a)
a大于等于1时最小值为-2

Answer 3

1.
设函数方程为f(x)=ax^2+bx+c
由f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x，得
a(x+1)^2+b(x+1)+c+a(x-1)^2+b(x-1)+c=2x^2-4x
整理，得
(2a-2)x^2+(2b-4)x+2a^2+2c=0
要对定义域上任意x，等式都成立，只有
2a-2=0
2b-4=0
2a^2+2c=0
解得
a=1
b=2
c=-1
二次函数解析式为f(x)=x^2+2x-1
(2)
f(x)=x^2+2x-1=(x+1)^2-2
x属于[0，a]（a为大于0的常数）时,f(x)单调递增
x=0时，有f(x)min=-1

Answer 4

设f(x)=ax^2+bx+c
f(x+1)+f(x-1)
=a(x+1)^2+b(x+1)+c+a(x-1)^2+b(x-1)+c
=2ax^2+2+2bx+2c
=2x^2-4x
2a=2,2b=-4,2c+2=0
a=1,b=-2,c=-1
f(x)=x^2-2x-1
f(x)=(x-1)^2-2,开口向上,对称轴是x=1
当x∈[0,a](a>0)时f(x)的最小值g(a):
(1)
a<1时,g(a)=f(a)=a^2-2a-1
(2)a>=1时,g(a)=f(1)=-2