Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像过点(-1,0) 问是否存在常数a,b,c不等式x≤f(x)≤1／2(1+x^2）使x∈R成立

Answer 1

简单说一下方法，详细过程自己做

由二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像过点(-1,0)得a-b+c=0,b=a+c,a<>0
f(x)=ax^+(a+c)x+c
f(x)-x=ax^+(a+c-1)x+c=a(x+(a+c-1)/2a)^+c-(a+c-1)^/4a
要使f(x)>=x即f(x)-x>=0在x∈R成立，则此二次函数必须开口向上且顶点y值大于或等于0
即c-(a+c-1)^/4a>=0且a>0 ...........(1)

f(x)-(1+x^)/2=(a-1/2)x^+(a+c)x+c-1/2
=(a-1/2)(x+(a+c)/2(a-1/2))^-(a+c)^/4(a-1/2)+c-1/2
要使f(x)<=(1+x^)/2即f(x)-(1+x^)/2<=0在在x∈R成立，
则此二次函数必须开口向下且顶点y值小于或等于0
即-(a+c)^/4(a-1/2)+c-1/2<=0且a-1/2<0 .......(2)

由（1）（2）两处合并解集即可