已知a,b,x,y均为正数，且x+y=1,求证ab≤（ax+by)(ay+bx)≤(a+b)^2／4
1个回答
展开全部
因为ab<=((a+b)/2)^2
所以
(ax+by)(ay+bx)
<=((ax+by+ay+bx)/2)^2
=(a(x+y)+b(x+y))^2/4
=(a+b)^2/4
(ax+by)(ay+bx)
=xya^2+xyb^2+abx^2+aby^2)
=xya^2+xyb^2+ab(x^2+y^2)
=xya^2+xyb^2-2xyab+ab(x^2+y^2)+2xyab
=xya^2+xyb^2-2xyab+ab(x^2+y^2+2xy)
=xy(a-b)^2+ab(x+y)^2
=ab+xy(a-b)^2
>＝ab
命题得证
所以
(ax+by)(ay+bx)
<=((ax+by+ay+bx)/2)^2
=(a(x+y)+b(x+y))^2/4
=(a+b)^2/4
(ax+by)(ay+bx)
=xya^2+xyb^2+abx^2+aby^2)
=xya^2+xyb^2+ab(x^2+y^2)
=xya^2+xyb^2-2xyab+ab(x^2+y^2)+2xyab
=xya^2+xyb^2-2xyab+ab(x^2+y^2+2xy)
=xy(a-b)^2+ab(x+y)^2
=ab+xy(a-b)^2
>＝ab
命题得证
本回答由提问者推荐
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
