Question

拉格朗日中值定理为什么又叫做有限增量定理

Answer 1

拉格朗日中值定理中，令f(x)为y，则该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)，上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式， 因此本定理也叫有限增量定理。

函数的微分dy=f'(x)△x是函数的增量Δy的近似表达式，一般情况下只有当|Δx|很小的时候，dy和Δy之间的近似度才会提高；

而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）时，函数增量Δy的准确表达式，精确地相等，这就是该公式的价值所在。

扩展资料：

拉格朗日中值定理的其他形式：简化形式（罗尔中值定理）

如果函数ƒ(x)满足：在闭区间[a,b]上连续； 在开区间(a,b)内可导；ƒ(a)=ƒ(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

几何意义：若连续曲线y=f(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等，则在弧 AB 上至少有一点 C，使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。

参考资料来源：百度百科-拉格朗日中值定理

Answer 2

拉格朗日中值定理内容：
如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a) (式1)
示意图
http://baike.baidu.com/view/103944.htm
式1可写为 △y=△x*f'(ξ) 式中 △y=f(b)-f(a) △x=b-a
因ξ∈[a,b]，可设 ξ=a+θ△x (0<θ<1)

于是可写成 △y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)
上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理