Question

1.已知直线2X-Y+3=0 求关於点(-1,2)对称的直线方程 2.若|x|<1,|y|>1,求证|x+2y|>1

Answer 1

（1）过（-1,2）作平行于直线2X-Y+3=0的直线为：
y=2（x-（-1））+2=2x+4，该直线交x轴于点（-2,0）；
直线2X-Y+3=0交x轴于（-3/2，0），
点（-3/2，0）关于点（-2,0）对称的点坐标为（-5/2，0），
故所求关於点(-1,2)对称的直线方程为平行于直线2X-Y+3=0 ，且过（-5/2，0）的直线方程。根据点斜式得：
y=2[x-（-5/2）]=2x+5
故所求直线方程为y=2x+5；

（2）因为|x|<1,|y|>1，所以-1<x<1,y>1或y<-1
当-1<x<1，y>1时，有-1+2<x+2y,即x+2y>1;
当-1<x<1，y<-1时，有x+2y<1+(-2),即x+2y<-1;
综合可知：|x+2y|>1

Answer 2

设点（a，b）在已知直线上，它关于点（-1,2）的对称点为（x，y）
则a+x=-2
b+y=4
所以a=-2-x,b=4-y,带入已知直线
得2（-2-x）-（4-y）+3=0化简得
-2x+y+3=0

由决对值不等式|a+b|>=||a|-|b||得
|x+2y|>||2y|-|x||
由于|2y|>2,|x|<1
所以|x+2y|>||2y|-|x||>1