Question

高分求解高中数学题目

已知a，b大于0，且1/a +1/b =1,证：(a+b)的n次方 -a的n次方-b的n次方>=2的2n次方-2的n+1次方
小小的要求，可以用数学归纳法证明给我吗 题目没有错 1楼和2楼都做出来了 如果没有人用数学归纳法证明给我，我就从这两个人选个答案

Answer 1

我只用数学归纳法正后面的部分，前面的自己代数验证

Answer 2

1/a+1/b=1得到a+b=ab且a＞1，b＞1
因为a+b=ab＞2√ab
ab＞4
(a+b)^n=(ab)^n=a^n+Cn(1)ab^(n-1)+…+Cn(n-1)a^(n-1)b+b^n
其中Cn(1)...Cn(n-1)为二项式系数并且Cn(k)=Cn(n-k)
则有(ab)^n-a^n-b^n=Cn(1)ab^(n-1)+…+Cn(n-1)a^(n-1)b
反写(ab)^n-a^n-b^n=Cn(n-1)a^(n-1)b+…+Cn(1)ab^(n-1)
相加并用均值定理
2(原式左边)＞2Cn(1)(ab)^(n/2)+…+2Cn(n-1)(ab)^(n/2)
＞2×4^(n/2)[Cn(1)+…+Cn(n-1)]
=2×2^n×(2^n-2)=2×(原式右边)

Answer 3

题目错了吧！！！！！！！！

Answer 4

a，b大于0，且1/a +1/b =1，
∴a+b=ab<=(a+b)^2/4,∴ab=a+b>=4.
下面用数学归纳法。
n=1时左=0=右。
n=2时左=（a+b)^2-a^2-b^2=2ab>=8=右。
n=3时左=（a+b)^3-a^3-b^3=3ab(a+b)>=48=右。
假设n<=k(k>=3）时不等式都成立，那么
(a+b)^(k+1)-a^(k+1)-b^(k+1)
=(a+b)[(a+b)^k-a^k-b^k]+ab[a^(k-1)+b^(k-1)]
>=4[2^(2k)-2^(k+1)]+8[(a+b)/2]^(k-1)
>=2^[2(k+1)]-2^(k+3)+8*2^(k-1)
=2^[2(k+1)]-2^[(k+1)+1],
其中a^(k-1)+b^(k-1)>=2[(a+b)/2]^(k-1)是利用y=x^n(x>0,n>=2)是下凸函数.
∴n=k+1时不等式也成立。
∴对任意的n∈N+,不等式都成立。

Answer 5

由1/a +1/b =1得
a≥1，b≥1
a+b=ab≥4
所以(a+b)的n次方 -a的n次方-b的n次方
=(ab)的n次方 -a的n次方-b的n次方+1-1
=(a的n次方-1)(b的n次方-1)-1 （1）
而(a的n次方-1)+(b的n次方-1)=a的n次方+b的n次方-2
≥2×根号[(ab)的n次方]-2
≥2×根号[4的n次方]-2
≥2的n+1次方-2
所以当(a的n次方-1)+b的n次方-1=2的n+1次方-2，且a的n次方-1=b的n次方-1
时，（1）式取最小值
即当a=b=2时，（1）式取最小值
所以(a的n次方-1)(b的n次方-1)-1
≥(2的n次方-1)(2的n次方-1)-1
=2的2n次方-2的n+1次方
证毕。

Answer 6

当遇到n此幂的不等式证明的时候，应该要想到使用数学归纳法。本题由数学归纳法证明如下：
a>0,b>0,由1/a+1/b=1 => ab=a+b≥2√ab => √ab≥2 => ab=a+b≥4;
n=0时，1-1-1=-1≥1-2=-1成立;
n=1时，a+b-a-b=0≥4-4=0成立;
n=2时，(a+b)^2-a^2-b^2=2ab≥8=2^4-2^3成立，即(a+b)^2≥a^2+b^2+8;
n=3时，(a+b)^3-a^3-b^3=(a+b)^2*(a+b)-a^3-b^3≥(a^2+b^2+8)(a+b)-a^3-b^3=a^2*b+a*b^2+8a+8b=ab(a+b)+8(a+b)=(ab)^2+8ab≥4^2+8*4=48=2^(2*3)-2^(3+1)成立;
……
假设对n=k,k=0,1,2,……成立，
即(a+b)^k-a^k-b^k≥2^(2k)-2^(k+1) => (a+b)^k≥a^k+b^k+2^(2k)-2^(k+1)
则当n=k+1时，
(a+b)^(k+1)-a^(k+1)-b^(k+1)≥[a^k+b^k+2^(2k)-2^(k+1)](a+b)-a^(k+1)
-b^(k+1)=a*b^k+b*a^k+[2^(2k)-2^(k+1)]*(a+b)≥2√[(ab)^(k+1)]+[2^(2k)-2^(k+1)](a+b)
≥2*2^(k+1)+[2^(2k)-2^(k+1)]*4=2^2(k+1)-2^(k+1+1)
由此可见，当n=k+1时不等式也成立。
综上，对任何自然数n不等式成立。