Question

十万火急！一道高中数学题，请详细解释

Answer 1

楼上的“ Miss丶小紫”回答的很好了，我来补充一下这道题的本质含义。

原式<=> f(x1)+f(x2)=2c

为了方便叙述，我们令g(x)=f(x)+c
那么g(x1)+g(x2)=0,g(x2)=-g(x1)……(*)
(*)式的含义是，对任意x1，都能找到唯一的x2使x2在对应关系g下的函数值与x1在对应关系g下的函数值互为相反数，这包含着两层意思：

首先，对于任意的x1，g(x1)的范围是函数g(x)的值域G，-g(x1)的范围就是G关于原点对称的区间G'。那么根据(*)式说明对于G'中的任意一个值α，都存在x2使得g(x2)=α，也就是说G'包含于G。而G'与G是关于原点对称的，所以G=G'，函数g(x)的值域关于原点对称。

其次，对于G'中的任意一个值α，都存在唯一一个x2使得g(x2)=α，这说明g(x)是存在定义域为G'的反函数的，而根据上面的论述,G'=G,于是g(x)存在定义域为G的反函数，简言之，g(x)的反函数存在。

现在换回对f(x)性质的描述，f(x)在D上的均值为c的意思是：
① f(x)在D上的取值范围关于c对称；
② f(x)存在反函数（g(x)=f(x)+c存在反函数 等价于 f(x)存在反函数)；

考虑题中的4个函数
y=x³满足①②；
y=4sinx既不满足①也不满足②；
y=lgx满足①②；
y=2^x不满足①但满足②；
于是正确答案是①③。

Answer 2

答案①③
解：由题意可知：f(x1)+f(x2)=4，如果x1确定，则x2是唯一的
①x1³+x2³=4，∴x2=³√(4-x1³)，∴x1确定，x2唯一，所以满足。
②4sinx1+4sinx2=4,∴sinx2=1-sinx1,∴x1确定，x2有无数个，所以不满足
③lgx1+lgx2=4,即lg(x1x2)=lg10⁴,即x1x2=10⁴,∴x2=10⁴/x1,∴x1确定,x2唯一，所以满足
④2^x1+2^x2=4,∴2^x2=4-2^x1,∵4-2^x1可能为负数，而2^x2为正数，所以不满足

Answer 3

只要是单调函数，且函数的值域包含2C=4就可以，通过画图很容易看出来

感觉4也行，呵呵

Answer 4

（1），（3），（4）