Question

设a是实数，f(x)=a-2/2^x +1(x属于R）试证明对于任意a，f(x)为增函数

Answer 1

假设 X1>X2 则 f(x1) - f(x2) = a-2/2^x1 +1 -a+2/2^x2 -1 =2/2^x2 -2/2^x1 = (2^(x1+1) -2^(x2+1))/2^(x1*x2)
因为 x1>x2 所以x1+1 >x2+1 所以2^(x1+1) -2^(x2+1）> 0
即 f(x1) - f(x2) > 0 所以 f(x1) > f(x2)
对于任意a，f(x)为增函数成立
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Answer 2

任取x1＜x2
则f(x2)-f(x1)=（a-2/2^x2+1)-（a-2/2^x1+1）=2（2^x2-2^x1）/2^x2·2^x1
∵x1＜x2，∴2^x2-2^x1＞0，又2^x2，2^x1＞0，∴2^x2·2^x1＞0
∴f(x2)-f(x1)＞0
∴f(x)为增函数

这里a是作为一个常数出现的
由于复合函数的单调性只取决于所复合的基本初等函数的单调性，而不取决于相加的常数，所以无论a取何值，f(x）都是增函数

Answer 3

定义域R
令t=2^x,则t>0,当x属于R时,t=2^x单调递增
又y=g(t)=a-2/(t+1)在t>0时单调递增
由复合函数单调性的定义,函数f(x)=a-2/(2^x+1)
(x∈R）在R上单调递增