Question

1.已知z=x+yi,且z乘以共轭复数z+（1-2i）z+（1+2i）共轭复数z=3，求|z|的最大值，和复数z的实部与虚部和

最小值
2.若x，y满足x^2+(y-1)^2=1,不等式x+y+m≥0恒成立，求m的范围

Answer 1

z乘以共轭复数z+（1-2i）z+（1+2i）共轭复数z

=x²+y²+(1-2i)(x+yi)+(1+2i)(x-yi)

=x²+y²+x+2y-(2x-y)i+x+2y+(2x-y)i

=x²+y²+2x+4y

=3

∴x²+y²+2x+4y=3

(x+1)²+(y+2)²=8

z=x+yi在以(-1,-2)为圆心，2√2为半径的圆上

|z|=√（x²+y²）

表示为圆上到原点的距离

∵原点在圆内部

∴圆心到原点距离

=√5

∴|z|最大值=√5+2√2

设z=x+y

y=-x+z

当y=-x+z与圆相切时

z有最大值，最小值

最小值=-7（此时x=-3,y=-4)

(2)

x^2+(y-1)^2=1

以(0,1)为圆心,半径=1的圆

令圆x^2+(y-1)^2=1与直线x+y+m=0相切
即圆心(0,1)到直线x+y+m=0的距离为1
|1+m|/√2=1,m=-1+√2,m=-1-√2,
结合图像可知,当m≥-1+√2时,
x+y+m≥0恒成立

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追问

图中画的是圆，怎么从图中看出m≥-1+√2

追答

因为x+y+m≥0恒成立

y≥-x-m
-m越小，越成立
∴m选最大的那个
m≥-1+√2