Question

已知，AB,CD为圆O的两条弦，M,N分别为AB,CD的中点，且∠AMN=∠CNM，求证：AB=CD

快快快，，，急用，打不出来老师骂，限制到明天早上！！！给分！！

Answer 1

证明：

连接OM和ON，设AB和CD的交点是S，

∵M和N分别是弦AB和弦CD的中点

∴OM⊥AB，ON⊥CD

∵∠AMN=∠CNM

∴∠SMN=∠SNM

∴MS=NS

根据勾股定理，得

OM=√(OS²-MS²)=√(OS²-NS²)=ON

再根据勾股定理，得

BM=√(OB²-OM²)=√(OB²-ON²)=DN

∴AB=2BM=2DN=CD

得证

Answer 2

证明：

连接OM和ON，设AB和CD的交点是S，

∵M和N分别是弦AB和弦CD的中点

∴OM⊥AB，ON⊥CD

∵∠AMN=∠CNM

∴∠SMN=∠SNM

∴MS=NS

根据勾股定理，得

OM=√(OS²-MS²)=√(OS²-NS²)=ON

再根据勾股定理，得

BM=√(OB²-OM²)=√(OB²-ON²)=DN

∴AB=2BM=2DN=CD

得证