Question

高二数学 曲线方程 急急急急

能答多少是多少，按答题数追加分
Ⅰ.已知曲线C1:f(x,y)=0,C2:φ(x,y)=0,曲线系D:f(x,y)+λφ(x,y)=0(λ∈R).求证:C1和C2有公共点的充要条件是:不论λ取怎样的实数,曲线系D过定点.
Ⅱ.过定点C(a,b)(ab≠0)作两条互相垂直的直线CA交x轴于A,CB交y轴于B,连结AB,求AB中点M的轨迹方程和|MC|的最小值.
Ⅲ.已知线段|AB|=a,端点A在射线y=0(x≥0)上运动,B在射线y=-(√3)x(x≤0)上运动,分别过A,B作它们所在射线的垂线并相交于P,求P点的轨迹方程.

Answer 1

Ⅱ.解：设中点M（x,y) , A(m,0) , B(0,n)
由中点坐标公式得：m=2x, n=2y 故 A(2x,0) , B(0,2y)
又因为 向量CA⊥向量CB ， 即(2x-a,-b)⊥(-a,2y-b)
所以-a(2x-a)-b(2y-b)=0, 2ax+2by=a^2+b^2
所以中点M的轨迹方程是2ax+2by=a^2+b^2

因为 |MC|=|AB|/2=|OM|,所以|MC|的最小值就是懂点M到原点O的距离，也就是原点到直线 2ax+2by=a^2+b^2 的距离:
d=(a^2+b^2)/√4(a^2+b^2)=√(a^2+b^2)/2

Answer 2

1\congfenxing:p-q,you不论λ取怎样的实数,曲线系D过定点.kedeD:f(x,y)+λφ(x,y)=0(λ∈R).--C1HEC2有公共点.BIYAOXINGFABGUOLAI

Answer 3

Ⅱ.解：设中点M（x,y) , A(m,0) , B(0,n)
由中点坐标公式得：m=2x, n=2y 故 A(2x,0) , B(0,2y)
又因为 向量CA⊥向量CB ， 即(2x-a,-b)⊥(-a,2y-b)
所以-a(2x-a)-b(2y-b)=0, 2ax+2by=a^2+b^2
所以中点M的轨迹方程是2ax+2by=a^2+b^2

Answer 4

（第一题）曲线C1:f(x,y)=0,C2:g(x,y)=0.曲线系D:f(x,y)+tg(x,y)=0.(1)充分性。设曲线C1,C2有交点P(a,b),∴f(a,b)=0,g(a,b)=0.故对任意实数t∈R,恒有f(a,b)+tg(a,b)=0.∴对任意实数t,曲线系f(x,y)+tg(x,y)=0恒过定点P(a,b).(2)必要性。假设对任意实数t∈R,曲线系f(x,y)+tg(x,y)=0均过定点Q(m,n).则对任意实数t∈R,恒有f(m,n)+tg(m,n)=0.当t=0时，应有f(m,n)=0.∴恒有tg(m,n)=0,∴g(m,n)=0.即曲线C1,C2均过定点Q(m,n),∴C1,C2有公共点Q(m,n).（第二题）由题设，可设点A(m,0),B(0,n),M(x,y).由中点公式得2x=m,2y=n.再由CA⊥CB得[(b-n)/a]×[b/(a-m)]=-1.===>a²+b²-am-bn=0.===>2ax+2by-a²-b²=0.这就是点M的轨迹方程。再由距离公式结合轨迹方程得|MC|²=(x-a)²+(y-b)²=x²+y²-2ax-2by+a²+b²=x²+y².∴|MC|的意义就是直线上的点到原点的距离。其最小值就是原点到直线2ax+2by-a²-b²=0的距离=[√(a²+b²)]/2.(第三题）可设点A(m,0),B(n,-(√3)n),(m≥0,n≤0),P(x,y).垂线方程分别为x=m,y+(√3)n=(√3/3)(x-n).解这个关于x,y的方程，其解就是点P的坐标，反解得m=x,n=(x-√3y)/4.∵|AB|=a,===>a²=(m-n)²+3n²=m²-2mn+4n²=(3x²+3y²)/4.===>x²+y²=(4a²)/3.(x≥0)这就是点P的轨迹方程。