Question

用常数变易法求通解。

Answer 1

解：∵(y^2-6x)dy/dx+2y=0
∴2ydx/dy=6x-y^2.........(1)
∵方程(1)齐次方程是2ydx/dy=6x
==>dx/x=3dy/y
==>ln│x│=3ln│y│+ln│C│ (C是常数)
==>x=Cy^3
∴齐次方程2ydx/dy=6x的通解是x=Cy^3
于是，根据常数变易法，设方程(1)的解为x=C(y)y^3 (C(y)是关于y的函数)
代入方程(1)，化简得
2C‘(y)y^4=-y^2
==>C‘(y)=-1/(2y^2)
==>C(y)=C-1/(2y) (C是常数)
==>x=Cy^3-y^2/2
即方程(1)的通解是x=Cy^3-y^2/2
故原方程的通解是x=Cy^3-y^2/2。