Question

利用常数变易法求方程y'-by=ax的通解

Answer 1

解：（常数变易法）
（1）当b=0时，显然方程y'-by=ax的通解是y=ax^2/2+C (C是常数)；
（2）当b≠0时，
∵齐次方程y'-by=0的通解是 y=Ce^(bx) (C是常数)
∴设方程y'-by=ax的解为 y=C(x)e^(bx) (C(x)是关于x的函数)
则 y‘=C'(x)e^(bx)+bC(x)e^(bx)，代入y'-by=ax化简得
C'(x)e^(bx)=ax
==>C'(x)=axe^(-bx)
==>C(x)=a∫xe^(-bx)dx=C+a(1-bx)e^(-bx)/b^2 (C是常数)
==>y=C(x)e^(bx)=Ce^(bx)+a(1-bx)/b^2
故方程y'-by=ax的通解是y=Ce^(bx)+a(1-bx)/b^2。

Answer 2

解：（常数变易法）
（1）当b=0时，显然方程y'-by=ax的通解是y=ax^2/2+C (C是常数)；
（2）当b≠0时，
∵齐次方程y'-by=0的通解是 y=Ce^(bx) (C是常数)
∴设方程y'-by=ax的解为 y=C(x)e^(bx) (C(x)是关于x的函数)
则 y‘=C'(x)e^(bx)+bC(x)e^(bx)，代入y'-by=ax化简得
C'(x)e^(bx)=ax
==>C'(x)=axe^(-bx)
==>C(x)=a∫xe^(-bx)dx=C+a(1-bx)e^(-bx)/b^2 (C是常数)
==>y=C(x)e^(bx)=Ce^(bx)+a(1-bx)/b^2
故方程y'-by=ax的通解是y=Ce^(bx)+a(1-bx)/b^2。