Question

麻烦各位大侠啦，小弟万分感谢，高数二元函数连续性与偏导数，可微的关系

如下图1的式子，可以知道它在（0，0）是不连续的，偏导数存在。
但有一个证明题却证明了它在的偏导数是连续的，所以它在（0，0）可微。
可是，根据书上有明确写出了如下图2的关系，这不是很明显的完全矛盾了吗？
偏导连续就是可以推函数连续的才对吧？？？

Answer 1

偏导是个二元函数， 说它在某点连续，必须是在二维邻域里考虑。

当 （x，y)不= (0,0) 时
df/dx (偏导)= (y^3-x^2y)/(x^2+y^2)^2

此偏导函数 在(0,0)处不连续：在直线x=0上，df/dx (偏导)= 1/y。 当沿着直线x=0 逼近(0,0)时, 此偏导函数无界， 不连续。

那个证明“它在的偏导数是连续的”是错误的。

Answer 2

函数的连续性与其偏导数的连续性无直接关系。

Answer 3

“有一个证明题却证明了它在的偏导数是连续的”可能有问题，推测证明错了。

Answer 4

对于二元函数，偏导数存在且连续可以推出可微。而你所说函数在0，0不连续，这个与偏导数在0，0连续没有关系。所以偏导连续就直接得到可微。