Question

已知（1+mx）n（m是正实数）的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112．（1）求m，n的值

已知（1+mx）n（m是正实数）的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112．（1）求m，n的值；（2）求展开式中奇数项的二项式系数之和；（3）若（x+m）n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况．

Answer 1

（1）由题意可得 2ⁿ=256，解得n=8．故（1+m

x

）⁸（m是正实数）的展开式含x项的系数为 

C

2 8

?m²=112，
解得m=2，或m=-2（舍去）．
故m，n的值分别为2，8．
（2）展开式中奇数项的二项式系数之和为

C

1 8

+

C

3 8

+

C

5 8

+

C

7 8

=128．
（3）易知m＞0，设第r+1项系数最大．-
则

C r 8 mr≥ C r?1 8 mr?1 C r 8 mr≥ C r+1 8 mr+1.

，化简可得

8m?1

m+1

≤r≤

9m

m+1

．
由于只有第6项和第7项系数最大，所以

4＜ 8m?1 m+1 ≤5 6≤ 9m m+1 ＜7.

，即

5 4 ＜m≤2 2≤m＜ 7 2 .

，
所以m只能等于2．