Question

求函数y=（4-3sinx）（4-3cosx）的最小值

Answer 1

　　答案是7/2

　　y=（4-3sinx）（4-3cosx）
　　=16-12cosx-12sinx+9sinxcosx
　　=16-12(sinx+cosx)+9sinxcosx
　　以上就是y的展开式
　　根据三角函数的关系可知：
　　(sinx+cosx)²=sin²x+2sinxcosx+cos²x=1+2sinxcosx
　　则sinxcosx=[(sinx+cosx)²-1]/2
　　把上式代入y的展开式中，得到
　　那么y=16-12(sinx+cosx)+9[(sinx+cosx)²-1]/2
　　此时可以发现关于x这个变量只有sinx+cosx一种形式出现
　　可以将(sinx+cosx)设为一个新的变量，设为a
　　则y=16-12a+9a²/2-9/2
　　=9a²/2-12a+23/2
　　这是个二次函数，存在对称轴；且开口向上有最小值，那么：
　　当a=-(-12)/(2*9/2)=4/3时y取最小值，a＞4/3时y递增；a＜4/3时y递减
　　再观察a的性质：
　　a=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
　　则a∈[-√2，√2]
　　由于4/3∈[-√2，√2]
　　那么a可以取到4/3
　　则y最小值就是a=4/3时，为7/2

Answer 2

解:y=(4-3sinx)(4-3cosx)
即y=9sinxcosx-12(sinx+cosx)+16
设t=(sinx+cosx)=(√2)sin(x+π/4)
则-√2≤t≤√2 且sinxcosx=(t^2-1)/2

y=(9/2)(t^2-1)-12t+16
即y=(9/2)(t-4/3)^2+7/2 (-√2≤t≤√2)
得 t=4/3 即sinx+cosx=4/3时
y取最小值7/2

所以y=(4-3sinx)(4-3cosx)的最小值是7/2.

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