Question

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M?D），有x+t∈D，且f（x+t）≥f（x），则

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M?D），有x+t∈D，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a2|-a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是______．

Answer 1

解：根据题意，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，
则当x≥a²时，f（x）=x-2a²，
0≤x≤a²时，f（x）=-x，
由奇函数对称性，有则当x≤-a²时，f（x）=x+2a²，
-a²≤x≤0时，f（x）=-x，
图象如图：易得其图象与x轴交点为M（-2a²，0），N（2a²，0）
因此f（x）在[-a²，a²]是减函数，其余区间是增函数．
f（x）为R上的4高调函数，则对任意x，有f（x+4）≥f（x），
故当-2a²≤x≤0时，f（x）≥0，为保证f（x+4）≥f（x），必有f（x+4）≥0；即x+4≥2a²；
有-2a²≤x≤0且x+4≥2a²可得4≥4a²；
解可得：-1≤a≤1；
故答案为-1≤a≤1．