Question

已知函数f（x）=-x2+ax-lnx（a∈R）．（I）当a=3时，求函数f（x）在[12，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）函

已知函数f（x）=-x2+ax-lnx（a∈R）．（I）当a=3时，求函数f（x）在[12，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）函数f（x）既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）a=3时，f′（x）=-2x+3-

1

x

=-

2x2?3x+1

x

=-

(2x?1)(x?1)

x

，
函数f（x）在区间（

1

2

，2）仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点，
故函数在[

1

2

，2]最大值是f（1）=2，
又f（2）-f（

1

2

）=（2-ln2）-（

5

4

+ln2）=

3

4

-2ln2＜0，故f（2）＜f（

1

2

），
故函数在[

1

2

，2]上的最小值为f（2）=2-ln2．
（Ⅱ）若f（x）既有极大值又有极小值，则必须f′（x）=0有两个不同正根x₁，x₂，即2x²-ax+1=0有两个不同正根．
故a应满足

△＞0 a 2 ＞0

?

a2?8＞0 a＞0

?a＞2

2

，
∴函数f（x）既有极大值又有极小值，实数a的取值范围是a＞2

2

．