Question

已知数列{a n }满足a 1 =1，a 2 =λ（λ＜3且λ≠-2），且a n+2 =a n+1 +6a n ．（n∈N * ）．（1）证明

已知数列{a n }满足a 1 =1，a 2 =λ（λ＜3且λ≠-2），且a n+2 =a n+1 +6a n ．（n∈N * ）．（1）证明：数列{a n+1 +2a n }与数列{a n+1 -3a n }都是等比数列；（2）若a n+1 ＞a n （n∈N * ）恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

解析：（1）由a n+2 =a n+1 +6a n 得a n+2 +2a n+1 =3（a n+1 +2a n ）a n+2 -3a n+1 =-2（a n+1 -3a n ）…（4分） 由λ＜3是λ≠-2知a 2 +2a 1 ≠0，a 2 -3a 1 ≠0，故有 a n+2 +2 a n-1 a n+1 +2 a n =3， a n+2 -3 a n+1 a n+1 -3 a n =-2 ∴数列{a n+1 +2a n }与数列{a n+1 -3a n }都是等比数列．…（6分） （2）由（1）知：a n+1 +2a n =（λ+2）3 n-1 ①a n+1 -3a n =（λ-3）（-2） n-1 ②…（7分） 由①-②得5a n =（λ+2）3 n-1 +（3-λ）（-2） n-1 5a n+1 =（λ+2）3 n +（3-λ）（-2） n …（8分） ∴5（a n+1 -a n ）=（2λ+4）?3 n-1 +（3λ-9）?（-2） n-1 ＞0，又∵λ＜3， 化简得 2λ+4 9-3λ ＞(- 2 3 ) n-1 …（10分） 对于任意n∈N * ，总有 (- 2 3 ) n-1 ≤1 …（11分） ∴ 2λ+4 9-3λ ＞1 ，解之得1＜λ＜3…（12分）