Question

在平面直角坐标系中．已知O坐标原点，点A（3，0），B（0，4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得

在平面直角坐标系中．已知O坐标原点，点A（3，0），B（0，4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD，记旋转转角为α，∠ABO为β。（I）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标； （Ⅱ）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系；（Ⅲ）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式（直接写出即如果即可）。

Answer 1

解：（I）∵点A（3，0）．B（0，4）， 得OA=3，OB=4， ∴在Rt△ABO中， 由勾股定理，得AB=5， 根据题意，有DA=OA=3， 如图①，过点D作DM⊥x轴于点M，则MD∥OB， ∴△ADM∽△ABO， 有 ，得  又OM=OA-AM，得OM= ， ∴点D的坐标为（ ）；
（Ⅱ）如图②，由己知，得∠CAB=α，AC=AB， ∴∠ABC=∠ACB， ∴在△ABC中，由∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，得α=180°-2∠ABC，， 又∵BC∥x轴，得∠OBC=90°， 有∠ABC=90°-∠ABO=90°-β， ∴α=2β。
（Ⅲ） 直线CD的解析式为 或 。