Question

已知函数f（x）定义域是{x|x ≠ k 2 ，k∈Z，x∈R }，且f（x）+f（2-x）=0，f（x+1）=- 1

已知函数f（x）定义域是{x|x ≠ k 2 ，k∈Z，x∈R }，且f（x）+f（2-x）=0，f（x+1）=- 1 f(x) ，当 1 2 ＜x＜1 时：f（x）=3 x ．（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）求f（x）在（0， 1 2 ）上的表达式；（3）是否存在正整，使得x∈（2k+ 1 2 ，2k+1）时，log 3 f（x）＞x2-kx-2k有解，并说明理由．

Answer 1

（1）∵f（x+2）=f（x+1+1）=- 1 f(x+1) =f（x）， 所以f（x）的周期为2…（2分） 所以f（x）+f（2-x）=0?f（x）+f（-x）=0， 所以f（x）为奇函数．…（4分） （2）任取x∈（0， 1 2 ）?-x∈（- 1 2 ，0）?1-x∈（ 1 2 ，1）． ∴f（x）=-f（-x）= 1 f(1-x) ∴f（x）= 1 3 1-x = 3 x-1 ．…（8分） （3）任取x∈（2k+ 1 2 ，2k+1）?x-2k∈（ 1 2 ，1）， ∴f（x）=f（x-2k）=3 x-2k ； ∴log 3 f（x）＞x2-kx-2k有解 即x 2 -（k+1）x＜0在x∈（2k+ 1 2 ，2k+1）上有解（k∈N + ）， 所以：（0，k+1）∩（2k+ 1 2 ，2k+1）≠?， 故有k+1＞2k+ 1 2 ，无解． 故不存在这样的正整数．…（12分）