已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的两个焦点分别是F1（-1，0）、F2（1，0），且焦距是椭圆C上一点p到两焦点F1，F2
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的两个焦点分别是F1（-1，0）、F2（1，0），且焦距是椭圆C上一点p到两焦点F1，F2距离的等差中项．（1）求椭圆C的方程；（2）设...
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的两个焦点分别是F1（-1，0）、F2（1，0），且焦距是椭圆C上一点p到两焦点F1，F2距离的等差中项．（1）求椭圆C的方程；（2）设经过点F2的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点Q（x0，y0），求y0的取值范围．
展开
1个回答
展开全部
（1）设椭圆C的半焦距是c．依题意，得c=1．…（1分）
由题意焦距是椭圆C上一点p到两焦点F1，F2距离的等差中项，得4c=2a，∴a=2
∴b2=a2-c2=3．…（4分）
故椭圆C的方程为
+
＝1．…（6分）
（2）解：当MN⊥x轴时，显然y0=0．…（7分）
当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
代入椭圆方程，消去y整理得（3+4k2）x2-8k2 x+4（k2-3）=0．…（9分）
设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q（x3，y3），则x1+x2=
．…（10分）
所以x3=
，y3=k（x3-1）=
，
∴线段MN的垂直平分线方程为y+
=-
（x-
）．
在上述方程中令x=0，得y0=
=
．…（12分）
当k＜0时，
+4k≤-4
；当k＞0时，
+4k≥4
．
所以?
由题意焦距是椭圆C上一点p到两焦点F1，F2距离的等差中项，得4c=2a，∴a=2
∴b2=a2-c2=3．…（4分）
故椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）解：当MN⊥x轴时，显然y0=0．…（7分）
当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
代入椭圆方程，消去y整理得（3+4k2）x2-8k2 x+4（k2-3）=0．…（9分）
设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q（x3，y3），则x1+x2=
| 8k2 |
| 3+4k2 |
所以x3=
| 4k2 |
| 3+4k2 |
| ?3k |
| 3+4k2 |
∴线段MN的垂直平分线方程为y+
| 3k |
| 3+4k2 |
| 1 |
| k |
| 4k2 |
| 3+4k2 |
在上述方程中令x=0，得y0=
| k |
| 3+4k2 |
| 1 | ||
|
当k＜0时，
| 3 |
| k |
| 3 |
| 3 |
| k |
| 3 |
所以?
|
