Question

已知关于x的一元二次方程x的平方-（2k+1）x+k平方+2k=0

Answer 1

解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴[-（2k+1）]2-4（k2+2k）≥0，
∴4k2+4k+1-4k2-8k≥0
∴1-4k≥0，
∴k≤
1
4
．
∴当k≤
1
4
时，原方程有两个实数根．　　　                    

（2）假设存在实数k使得x1•x2−x12−x22≥0成立．
∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2＝2k+1，x1•x2＝k2+2k．                  
由x1•x2−x12−x22≥0，
得3x1•x2−(x1+x2)2≥0．                                 
∴3（k2+2k）-（2k+1）2≥0，整理得：-（k-1）2≥0，
∴只有当k=1时，上式才能成立．                      
又∵由（1）知k≤
1
4
，
∴不存在实数k使得x1•x2−x12−x22≥0成立．

Answer 2

考察的是一元二次方程有根的条件和韦达定理。