Question

已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，S3=39．（1）求数列{an}通项公式；（2）若在an与an

已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，S3=39．（1）求数列{an}通项公式；（2）若在an与an+1之间插入n个数，使得这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求证：1d1+1d2+…+1dn＜58．

Answer 1

（Ⅰ）∵a₁=3，S₃=39，∴q≠1，

3(1?q3)

1?q

＝39，
∴1+q+q²=13．∴q=3，或q=-4（舍），
故an＝3n．…（6分）
（Ⅱ）∵an＝3n，则an+1＝3n+1，由题知：
a_n+1=a_n+（n+1）d_n，则dn＝

2×3n

n+1

．
由上知：

1

dn

＝

n+1

2×3n

，
所以Tn＝

1

d1

+

1

d2

+…+

1

dn

=

2

2×3

+

3

2×32

+…+

n+1

2×3n

，

1

3

Tn＝

2

2×32

+

3

2×33

+…+

n+1

2×3n+1

，
所以

2

3

Tn＝

1

3

+

1

2

(

1

3 2

+

1

3 3

+…+

1

3 n

)-

n+1

2×3n+1

=

1

3

+

1

2

×

1 9 [1?( 1 3 )n?1]

1? 1 3

-

n+1

2×3n+1

=

5

12

?

5+2n

4×3n+1

，
所以Tn＝

5

8

?

5+2n

8×3n

＜

5

8

．
故

1

d1

+

1

d2

+…+

1

dn

＜

5

8

．…（12分）