Question

求椭圆x^2/4+y^2/3=1上的点到直线l:x+2y-9=0距离的最小值

要过程

Answer 1

解：过椭圆上任意一点作直线的平行线：
即x+2y-k=0

依题意知当直线正好为此椭圆的切线时，取得最值
故联立x+2y-k=0 x^2/4+y^2/3=1
化简整理得：
4x^2-2kx+k^2-12
由△=0解得k=±4
故L1：x+2y-4=0或L2：x+2y+4=0
d1=|-9+4|/√1^2+2^2=√5 (最小)
d2=|-9-4|/√1^2+2^2=13√5/5 (最大)
即最小距离为√5

如有不懂，可追问！

Answer 2

方法一：
1＝x^2/4+y^2/3
＝x^2/4+(2y)^2/12
≥(x+2y)^2/(4+12)
∴-4≤x+2y≤4
→-13≤x+2y-9≤-5
→5≤|x+2y-9|≤13
→5/√5≤|x+2y-9|/√5≤13/√5
→√5≤|x+2y-9|/√5≤(13√5)/5.
故L到椭圆距离的，
最大值为：(13√5)/5,
最小值为：√5.

方法二：
依椭圆参数方程可设
动点P(2cosα,√3sinα).
∴d＝|2cosα+2√3sinα-9|/√5
＝|4sin(α+π/6)-9|/√5.
∴α+π/6＝π/2→α＝π/3时，
所求最小值为：√5，
此时动点P为(1,3/2);
α+π/6＝3π/2→α＝4π/3时，
所求最大值为：(13√5)/5,
此时动点P为(-1,-3/2)。