Question

已知函数fx=2sin(派/4+x)sin(派/4-x)-cos(2x-派/3)的单调递增区间

Answer 1

解fx=2sin(π/4+x)sin(π/4-x)-cos(2x-π/3)
=2sin(π/4+x)cos[π/2-(π/4-x)]-cos(2x-π/3)
=2sin(π/4+x)cos(π/4+x)-cos(2x-π/3)
=sin(π/2+2x)-cos(2x-π/3)
=cos2x-[cos2xcosπ/3+sin2xsinπ/3]
=1/2cos2x-sin2xsinπ/3
=cos(2x+π/3)
故当2kπ-π≤2x+π/3≤2kπ，k属于Z时y是增函数，
即2kπ-4π/3≤2x≤2kπ-π/3，k属于Z时y是增函数，
即kπ-2π/3≤x≤kπ-π/6，k属于Z时y是增函数，
故函数的增区间为[kπ-2π/3，kπ-π/6],k属于Z。

Answer 2

sin2x+2sinxcosx+cos2x可以等于1

我们可以证明：

sin2x+2sinxcosx+cos2x

=（sinx+cosx）2

=【根号2sin（x+π/4）】2

=2sin2（x+π/4）

当x=kπ的时候2sin2（x+π/4）=1成立

这与sin2x+cos2x并不矛盾

因为这和x的取值有关系

Answer 3

解fx=2sin(π/4+x)sin(π/4-x)-cos(2x-π/3)
=2sin(π/4+x)cos[π/2-(π/4-x)]-cos(2x-π/3)
=2sin(π/4+x)cos(π/4+x)-cos(2x-π/3)
=sin(π/2+2x)-cos(2x-π/3)
=cos2x-[cos2xcosπ/3+sin2xsinπ/3]
=1/2cos2x-sin2xsinπ/3
=cos(2x+π/3)
故当2kπ-π≤2x+π/3≤2kπ，k属于Z时y是增函数，
即2kπ-4π/3≤2x≤2kπ-π/3，k属于Z时y是增函数，
即kπ-2π/3≤x≤kπ-π/6，k属于Z时y是增函数，
故函数的增区间为[kπ-2π/3，kπ-π/6],k属于Z。
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。
注：在单调性中有如下性质。图例：↑（增函数）↓（减函数）
↑+↑=↑　两个增函数之和仍为增函数
↑-↓=↑　增函数减去减函数为增函数
↓+↓=↓　两个减函数之和仍为减函数
↓-↑=↓　减函数减去增函数为减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)。那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
相反地，如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数。