Question

（本小题满分12分）函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)="f(a)+" f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.?（1）求

（本小题满分12分）函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)="f(a)+" f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.?（1）求证：f(x)是R上的增函数；?（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2 -m-2)＜3.?

Answer 1

（1）略 （2）-1＜m＜

解 （1）设x 1 ,x 2 ∈R，且x 1 ＜x 2 ,? 则x 2 - x 1 ＞0,∴f(x 2 - x 1 )＞1.            2分? f(x 2 )-f(x 1 )=f((x 2 - x 1 )+ x 1 )-f(x 1 )? =f(x 2 - x 1 )+f(x 1 )-1-f(x 1 )=f(x 2 - x 1 )-1＞0.   5分 ∴f（x 2 ）＞f(x 1 ).? 即f(x)是R上的增函数.                       6分 （2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，? ∴f（2）=3，                          8分 ∴原不等式可化为f(3m 2 -m-2)＜f(2),? ∵f(x)是R上的增函数，∴3m 2 -m-2＜2,            10分 解得-1＜m＜ ,故解集为（-1, ）.                       12分