Question

在△ABC中，a，b，c分别表示角A，B，C对边的长，满足（2b-c）cosA=acosC（1）求角A的大小；（2）已知BC=6

在△ABC中，a，b，c分别表示角A，B，C对边的长，满足（2b-c）cosA=acosC（1）求角A的大小；（2）已知BC=6，点D在BC边上，①若AD为△ABC的中线，且b=23，求AD长；②若AD为△ABC的高，且AD=33，求证：△ABC为等边三角形．

Answer 1

解答：（本小题满分16分）
解：（1）由正弦定理得（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC． …（2分）
所以2sinBcosA=sinB，所以cosA=

1

2

，…（4分）
因为0°＜A＜180°，所以A=60°．                     …（5分）
（不给A的范围扣1分）
（2）①由正弦定理得

BC

sinA

=

AC

sinB

，
又因为BC=6，b=2

3

，A=60°，所以sinB=

1

2

．    …（7分）
因为0°＜B＜180°，所以B=30°或B=150°．
…（8分）
因为A+B＜180°，所以B=30°．                   …（10分）
因为D是BC的中点，所以DC=3．                
由勾股定理知AD=

21

．                        …（11分）
②因为

1

2

AD×BC=

1

2

AB×ACsinA，
又因为AD=3

3

，BC=6，sinA=

3

2

，所以AB×AC=36…（13分）
因为BC²=AB²+AC²-2ABACcosA，所以AB²+AC²=72，
…（15分）
所以AB+AC=12，所以AB=AC=12．
所以△ABC为等边三角形．
…（16分）
本题第3问若用两角和与差的正切公式也给分